sábado, 2 de abril de 2016

Relatividade Restrita/Dinâmica Relativística: Exercício resolvido 1

Exercício presente no capítulo 7 do livro Special Relativity (The M.I.T. Introductory Physics Series).

Exercício:
Um méson K (káon) viajando através do laboratório se divide em dois mésons pi (píons). Um desses mésons pi fica em repouso. Qual era a energia do méson K? E qual a energia do méson pi restante? (Massa de repouso do méson K = 494 MeV; massa de repouso do méson pi = 137 MeV.)

Resolução:
Devemos considerar aqui duas leis essenciais para a física: a conservação de energia e a conservação de momento.

Toda a energia de uma partícula pode ser descrita pela seguinte equação:

Equação 1

Onde m0 é a massa de repouso, p é o momento e c é a velocidade da luz.


Para que a conservação de energia se concretize é preciso que a soma de energia antes e depois da transformação (divisão do méson K, no caso do exercício) seja igual

Para antes da transformação nós temos, obviamente, a energia apenas do méson K. E depois da transformação temos a energia dos dois mésons pi somadas. Dessa forma:

Equação 2

Que, pela equação 1, é reescrita dessa forma:

Equação 3

Aqui eu substituí a notação m0 por outra outra, agora com uma definição específica de cada partícula, sendo mk a massa de repouso do méson K, mπ1 a massa de repouso do méson pi que ficou parado e mπ2 a massa de repouso do méson pi que continuou em movimento. O mesmo vale para a notação de momento.

Pronto, resolvemos a parte da conservação de energia. Agora vamos reduzir essa equação.
Preste atenção nesses tópicos, pois colocarei apenas uma equação depois deles com todas as mudanças de uma vez:
  1. A unidade de medida que o problema deu para as massas, MeV (mega elétron-Volt), representa não apenas o valor de m, mas sim o de mc². Ou seja, já considera a velocidade da luz ao quadrado.
  2. Como o primeiro méson pi (π1) ficou em repouso, ele não possui velocidade, logo não possui momento (momento é igual à massa multiplicada pela velocidade). Por isso dentro de sua raiz fica apenas o valor da massa ao quadrado. A raiz e o expoente se cancelam, deixando apenas o valor da massa.

Feito isso, temos a equação mais reduzida:

Equação 4

Agora podemos pensar na conservação de momento. O momento antes da transformação deve ser o mesmo depois da transformação. Como um dos produtos finais (o primeiro méson pi) ficou em repouso então ele não possui momento, logo todo o momento que pertencia ao méson K foi transferido para o segundo méson pi. Analisando a fórmula podemos resumir da seguinte forma:

Equação 5
Já que os dois valores são iguais, os chamarei apenas de p. Agora vamos inserir os valores:


Temos, portanto, uma equação com uma única incógnita. Para resolver essa equação teremos um certo trabalho, por isso não vou demonstrar tudo aqui, senão isso ia acabar ficando mais longo do que já está. Bem, resolvendo chegamos aos seguintes valores para p:


Na equação 4 podemos ver que os momentos estão elevados ao quadrado, portanto é irrelevante escolher o valor positivo ou o negativo. Agora que sabemos o momento, podemos descobrir a energia total envolvida nesse processo. Escolhi calcular do lado do méson K, mas você pode usar o lado dos mésons pi também, o resultado será o mesmo (conservação de energia).


O exercício pede a energia cinética das partículas. Sabemos que a energia total de uma partícula é igual a soma de sua energia de repouso (o mesmo que a massa de repouso, se dada em eV) com a sua energia cinética (que vou chamar de K, não confunda com o nome do méson), logo podemos manipular a equação dessa forma:

Equação 6

E, finalmente, podemos inserir os valores na equação 6. Primeiro, vamos descobrir a energia cinética do méson K:


Agora, da mesma forma, descobrimos a energia cinética do méson pi que se manteve em movimento, afinal o que ficou em repouso não possui energia cinética. Não podemos esquecer que há duas energias de repouso nesse processo, pois o méson pi em repouso ainda a possui.


Resposta:

A energia cinética do méson K é igual à 396 MeV.
A energia cinética do méson pi restante é igual à 616 MeV.

Referências:
[French, A.P. (1968). Special Relativity (The M.I.T. Introductory Physics Series). W.W. Norton & Company.]

Até a próxima postagem!